Mathc initiation/a524

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La transformée de Laplace d'une intégrale[modifier le wikicode]


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                                 /t
   Si L{F(t)} = f(s)  alors   L{| F(u) du}  = L{Int F(u) du} = (1/s)f(s) 
                                /0

                    
    L{Int  F(u)    du}      =      (1/s) f(s)                                       
                                         
    L{Int  sin(u)  du}            (1/s) 1/(s^2+1)                                    
    L{Int  cos(u)  du}            (1/s) s/(s^2+1)                                       
         
    L{Int  sinh(u) du}            (1/s) 1/(s^2-1)                                      
    L{Int  cosh(u) du}            (1/s) s/(s^2-1)                                   
                  
    L{Int  exp(u)  du}            (1/s) 1/(s-1)                   


Les fonctions :


Présentation du problème :  

* Soit  F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
              /+oo
             |
   L{F(t)} = |  exp(-s t) F(t) dt = f(s)
             |
             /0
* Une propriété de la transformée de Laplace nous permet d'écrire :
              /t
             |              1
           L{|  F(U) dU} =  - f(s)
             |              s
             /0
* c00a.c

* Remarque, en langage c, j'ai utilisé, si G est une primitive de F, alors

              /t
             |
             |  F(U) dU = G(t)-G(0)
             |
             /0  

* Pour simplifier le calcul :
              /+oo
             |                              1
             |  exp(-s t) [G(t)-G(0)] dt =  - f(s)
             |                              s
             /0
* c00b.c
             
* Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, 
si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace de l'intégrale entre 0 et t de la fonction F, il suffit de diviser f(s) par s, soit f(s)/s.